숫자 대신 함수를 구하기
보통의 간단한 방정식에서 미지수 하나의 값을 구한다면, 미분방정식에서는 조건에 맞는 함수를 찾는다. 시간이 지날 때 양이 얼마나 빨리 바뀌는지 같은 관계가 방정식에 들어간다.
도함수가 항상 4인 함수를 생각하면 4x에 임의의 상수를 더한 함수들이 모두 조건을 만족한다. 변화율만으로 시작값까지 정해지는 것은 아니다.
초기 조건의 역할
앞의 예에 x가 0일 때 함수값이 7이라는 조건을 더하면 상수를 정할 수 있다. 이처럼 특정 지점의 값을 주는 초기 조건은 여러 해 중 하나를 고르는 데 사용된다.
모든 미분방정식에서 아무 조건이나 넣으면 해가 하나로 정해지는 것은 아니다. 해의 존재와 유일성은 방정식의 성질과 주어진 조건에 따라 따져야 한다.
변수가 하나인가 여러 개인가
하나의 독립변수에 대한 미분으로 표현하는 경우는 상미분방정식으로 다룬다. 시간과 공간처럼 여러 독립변수에 관한 편미분을 포함하는 경우는 편미분방정식으로 다룬다.
차수는 식에 나타나는 가장 높은 미분의 차수와 관련된다. 선형인지 여부는 미지 함수와 그 도함수가 식에 들어가는 방식에 관한 다른 구분이다.
해를 이해하는 여러 방법
해를 간단한 식으로 표현할 수 없더라도 증가하는지, 진동하는지, 특정 상태에 가까워지는지 등을 연구할 수 있다. 계산 방법을 사용해 일정한 범위의 근삿값을 구하기도 한다.
모형의 해가 정확하게 계산되었다는 사실과 실제 현상을 충분히 설명한다는 사실은 별개다. 가정과 관측 오차, 근사 방법의 오차를 구분해야 결과를 적절히 해석할 수 있다.