벡터장의 리 괄호

흐름의 순서가 중요한 이유

벡터장 g를 짧게 따른 뒤 h를 따르는 운동과, h 다음 g를 따르는 운동은 일반적으로 같은 점에 도착하지 않는다. 각 벡터장의 방향과 크기가 위치에 따라 달라지기 때문이다. 충분히 매끄러운 벡터장에 대해 g,h,−g,−h를 각각 시간 ε만큼 따르는 순환의 순변위는 위 정의 관례에서 ε²[g,h]와 고차항으로 나타난다.

직접 계산하는 예제

평면에서 g(x,y)=(1,0), h(x,y)=(0,x)라 하자. Dg=0이고 Dh·g=(0,1)이므로 [g,h]=(0,1)이다. 원점에서 g를 시간 ε만큼 따르면 (ε,0), 이어 h를 따르면 (ε,ε²)가 된다. −g를 따르면 (0,ε²), 마지막 −h는 x=0에서 속도가 0이므로 그대로다. 결과적으로 수직 변위 ε²가 남는다.

없는 속도를 즉시 만드는 것은 아님

위 예제의 원점에서 h는 0이고 g는 수평 방향뿐이다. 그럼에도 여러 구간을 조합하면 수직 변위를 얻는다. 이는 원점에서 허용되지 않은 수직 순간 속도를 바로 명령할 수 있다는 뜻이 아니다. 각 구간은 원래 벡터장을 따르며, 순변위가 ε² 규모라는 점도 중요하다. ε를 절반으로 줄이면 이 예제의 순변위는 4분의 1이다.

제어 분석에서의 조건

리 괄호로 생성되는 방향을 포함해 도달 가능한 운동을 분석할 수 있지만, 벡터장 계산만으로 모든 제어 가능성을 단정하지는 않는다. 순환 예제는 −g와 −h 방향의 입력이 허용된다는 조건을 사용한다. 전진만 가능한 차량처럼 입력 부호가 제한되면 같은 순환을 실행할 수 없다. 문헌의 괄호 부호 관례와 흐름 순서도 맞춰 읽어야 한다.