배치 제약을 미분하기
로봇 배치가 g(q)=0을 계속 만족해야 한다면 시간 미분으로 Dg(q)q̇=0을 얻는다. 이런 속도 조건은 원래 배치 제약에서 유도된 것이다. g가 독립적인 k개 조건이고 미분행렬의 계수가 k인 정칙점에서, n개 좌표로 표현한 허용 배치의 국소 차원은 n−k다. 특이점에서는 조건 수를 단순히 세는 것만으로 차원을 판단하기 어렵다.
원 위의 운동 예제
좌표 (x,y)가 x²+y²=1을 만족한다면 속도는 x ẋ+y ẏ=0을 만족한다. 점 (1,0)에서는 ẋ=0이므로 수직 접선 방향의 속도가 허용된다. 단, 접선 방향으로 유한한 직선을 그대로 이동하면 원을 벗어난다. 허용 순간 속도와 실제 유한 경로를 구별해야 한다. 원 위의 경로 (cos t,sin t)는 두 조건을 모두 만족한다.
속도식만으로 초기 배치가 정해지지 않음
위의 속도식은 x²+y²가 시간에 따라 일정하다는 뜻이다. 초기점이 (2,0)이면 그 상수는 4이지 1이 아니다. 따라서 배치 제약을 속도 수준에서만 강제하는 계산은 초기 조건을 맞춰야 하며, 수치 적분 오차로 원래 제약에서 이탈하는지도 확인해야 한다. 미분한 방정식만으로 원래 등식의 상수까지 복구되는 것은 아니다.
적분되지 않는 경우
옆 미끄럼이 없는 평면 차량은 −sinθ·ẋ+cosθ·ẏ=0을 만족한다. 이 조건은 순간 이동 방향을 제한하지만 같은 방식의 단일 배치 등식으로 차량의 모든 도달 배치를 표현하지는 못한다. 이런 비홀로노믹 조건과 배치에서 유도되는 홀로노믹 조건은 속도식의 겉모양만으로 구별되지 않는다. 경로 계획과 제어에서는 어떤 종류의 구속인지 함께 다룬다.
관련 문서
비홀로노믹 이동 로봇 / 영공간 / 행렬의 계수 / 연쇄 법칙 / 경로의 시간 매개화 / 로봇 특이점