실수에서 확장되는 계산
실수에서는 어떤 수를 제곱해도 음수가 되지 않는다. 복소수에서는 제곱하면 −1이 되는 수 i를 도입하여 x² + 1 = 0의 해를 i와 −i로 나타낸다. 기존 실수는 허수부가 0인 복소수로 포함된다.
허수라는 이름이 계산이 임의적이거나 결과가 무의미하다는 뜻은 아니다. 복소수도 명확한 연산 규칙을 갖는 수 체계이며, 전기 회로와 파동 등 여러 분야에서 쓰인다.
두 성분을 가진 수의 연산
덧셈에서는 실수부끼리, 허수부끼리 더한다. 곱셈에서는 분배 법칙을 적용한 뒤 i²를 −1로 바꾼다. 예를 들어 (2+i)(1+3i)는 2+7i+3i²이므로 −1+7i다.
a+bi의 켤레는 a−bi이며, 두 수를 곱하면 a²+b²가 된다. 이 성질을 이용하면 0이 아닌 복소수로 나눌 때 분모를 실수로 바꿔 계산할 수 있다.
평면에서 보는 크기와 회전
복소수 a+bi를 평면의 점 (a,b)에 대응시킬 수 있다. 원점에서의 거리는 √(a²+b²)로 정의되는 절댓값이며, 양의 실수축과 이루는 각은 편각이다.
0이 아닌 복소수를 곱하면 절댓값은 곱해지고 편각은 더해진다. 특히 i를 곱하는 것은 복소평면에서 원점을 중심으로 반시계 방향으로 90도 회전시키는 것과 대응한다.
크기를 비교할 때의 주의점
절댓값을 이용하면 원점에서 얼마나 떨어져 있는지 비교할 수 있다. 그러나 이 비교를 그대로 실수의 대소 관계처럼 사용할 수는 없다. 서로 다른 복소수가 같은 절댓값을 가질 수도 있다.
복소수 전체에는 실수의 덧셈과 곱셈에 관한 순서 법칙을 모두 유지하는 전순서를 줄 수 없다. 복소수를 다룰 때는 어느 수가 더 큰지보다 거리, 각도, 실수부와 허수부 중 무엇을 비교하는지 밝혀야 한다.