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과학

삼각형의 무게중심

삼각형의 무게중심과학
영어
Triangle centroid
대표 표기
G
정의
세 중선의 교점
중선 분할 비
꼭짓점 쪽 2 대 변의 중점 쪽 1
삼각형의 무게중심은 세 중선이 만나는 점이다. 각 중선을 꼭짓점에서부터 2 대 1로 나누며, 세 꼭짓점의 좌표를 성분별로 평균하여 구할 수 있다. 퇴화하지 않은 삼각형에서는 항상 내부에 놓인다.

중선 위의 위치

꼭짓점 A에서 맞은편 변 BC의 중점 M으로 그은 선분 AM이 중선이다. 무게중심 G는 AG : GM = 2 : 1을 만족한다. 따라서 A에서 M까지 거리의 2/3만큼 간 위치이며 중선의 중점과는 다르다.

좌표의 평균

꼭짓점 좌표가 (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)이면 G는 ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)이다. 예를 들어 (0, 0), (6, 0), (0, 9)의 무게중심은 (2, 3)이다. 각 좌표를 평균한 것이며 세 변의 길이를 평균한 값이 아니다.

넓이를 나누는 성질

G와 세 꼭짓점을 이으면 삼각형 전체가 넓이가 같은 세 삼각형으로 나뉜다. 세 중선을 모두 그으면 넓이가 같은 작은 삼각형 여섯 개를 얻는다. 넓이가 같다고 각 작은 삼각형의 모양이나 변 길이가 모두 같아야 하는 것은 아니다.

물리적인 무게중심과 연결

밀도가 일정한 얇은 삼각형 판의 질량중심은 이 기하학적 무게중심과 일치한다. 세 꼭짓점에 같은 질량을 놓은 경우에도 같은 점을 얻는다. 밀도가 고르지 않은 판이나 서로 다른 꼭짓점 질량에서는 물리적인 질량중심이 달라질 수 있으므로 조건을 구분해야 한다.

관련 문서

중선 (기하학) / 무게중심 좌표 / 체바의 정리 / 오일러 직선 / 삼각형 / 가중평균