1이 포함되지 않는 이유
소수는 약수를 정확히 두 개 갖는다는 조건으로 정한다. 1의 양의 약수는 1 하나이므로 소수에 포함하지 않는다. 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수는 합성수다.
2는 유일한 짝수 소수다. 2보다 큰 짝수는 1과 자기 자신 외에 2로도 나누어지기 때문이다. 홀수라는 조건만으로 소수가 되지는 않는다. 21처럼 더 작은 두 자연수의 곱으로 나타나는 홀수도 있다.
소인수로 나누어 보기
84는 2 × 2 × 3 × 7로 나타낼 수 있다. 이처럼 1보다 큰 자연수는 소수들의 곱으로 분해되며, 인수의 나열 순서를 제외하면 그 분해는 유일하다. 이를 산술의 기본 정리라고 한다.
소수가 끝나지 않는다는 논증
소수가 유한개라고 가정하고 그 목록을 모두 곱한 다음 1을 더한 수를 생각하자. 새 수는 목록의 어느 소수로 나누어도 나머지가 1이다. 따라서 새 수 자체가 소수이거나 목록에 없던 소수 인수를 가져야 하므로, 처음 목록이 전부라는 가정과 모순된다.
이 논증은 목록의 소수를 곱하고 1을 더한 수가 언제나 소수라고 말하지 않는다. 새 수가 합성수여도 기존 목록에 없던 소수 인수를 가지면 논증은 성립한다.
판정과 응용
어떤 수가 합성수라면 그 제곱근 이하의 소수 약수를 적어도 하나 가진다. 이 성질은 작은 수의 소수 판정에 활용할 수 있다. 큰 수를 위한 더 효율적인 판정 방법도 연구되어 있다.
소수는 여러 암호 체계에서도 사용된다. 다만 소수 판정이 가능한 문제라는 사실과 큰 합성수를 소인수분해하는 계산의 어려움은 같은 주장이 아니다.