아핀 공간

점과 벡터를 구별하기

점 p에 벡터 v를 더하면 이동한 점 p + v를 얻는다. 두 점 p와 q가 주어지면 p에서 q로 가는 벡터는 유일하다. 반면 점 두 개를 그대로 더하는 연산은 원점을 따로 선택하지 않은 추상적인 아핀 공간의 기본 연산이 아니다.

원점을 골라 좌표 붙이기

기준점 o를 하나 고르면 각 점 p를 벡터 p − o에 대응시킬 수 있다. 유한 차원에서는 이동 벡터의 기저도 선택해 좌표를 정한다. 기준점을 바꾸면 같은 점의 좌표는 바뀌지만 점 사이의 이동 관계 자체가 사라지는 것은 아니다.

평면 속 직선의 예

실수 평면의 직선 y = 2는 (t, 2)인 점들로 이루어진다. 두 점의 차이는 (t₂ − t₁, 0)이므로 직선 방향의 벡터가 된다. 이 직선은 원래 평면의 원점을 포함하지 않아 벡터 부분공간은 아니지만, 수평 방향의 벡터 공간을 동반하는 아핀 공간으로 볼 수 있다.

평행 이동된 부분공간

벡터 공간 안에서 부분공간 V와 점 p를 정하면 p + V라는 아핀 부분공간을 얻는다. 비동차 선형방정식의 해가 존재할 때 그 해집합을 특수해에 영공간을 더한 형태로 나타내는 것도 이런 관점과 연결된다. 이동 벡터들의 구조와 기준점의 선택을 구분하는 것이 핵심이다.