단계별 대기시간을 합한다
각 단계의 대기시간이 비율 λ인 지수분포를 따르고 서로 독립이라고 하자. k개 단계를 모두 거치는 총시간은 형상 k, 비율 λ의 얼랑 분포다. 지수 성분들의 비율이 서로 다르거나 의존하면 같은 기본 모형이 아니다. 형상이 실수까지 확장된 감마 분포와 비교할 때 k를 실제 단계 수로 해석할 수 있는 정수 조건이 중요하다.
두 단계에서 밀도를 유도한다
두 독립 지수시간의 합 T를 생각하자. t≥0에서 합성곱은 0부터 t까지 λexp(−λu)λexp(−λ(t−u))를 적분한 값이다. 적분 안의 값이 λ²exp(−λt)로 일정하므로 밀도는 λ²t exp(−λt)다. 일반적인 정수 k의 밀도는 λ^k t^(k−1)exp(−λt)/(k−1)!로 이어진다.
평균과 분산의 예
각 지수 성분의 평균은 1/λ, 분산은 1/λ²다. 독립 합의 평균은 k/λ, 분산은 k/λ²다. k=3,λ=2라면 평균 총시간은 1.5, 분산은 0.75다. 척도 θ로 쓰면 같은 값은 평균 kθ, 분산 kθ²이며 이 예의 θ는 0.5다. 비율 2를 척도 2로 그대로 바꾸면 다른 분포가 된다.
형상과 실제 과정
k=1이면 원래 지수분포로 줄어든다. 같은 평균을 유지하면서 단계 수를 늘리려면 비율도 함께 조정해야 하며 분산은 달라진다. 예를 들어 평균을 m으로 고정하면 λ=k/m이고 분산은 m²/k다. 자료에 얼랑 모형이 맞는다는 사실만으로 실제로 동일한 독립 단계 k개가 존재한다고 증명되지는 않으므로 생성 과정과 분포 적합을 구분해 해석한다.