특성함수로 표본을 표현하기
관측 x₁,…,x_n의 경험적 특성함수는 φ_n(t)=Σexp(itx_j)/n이다. 실수부는 cos(tx_j)의 평균,허수부는 sin(tx_j)의 평균이다. 두 표본에서 정한 t값들의 특성함수를 비교하고 변동을 반영해 통계량을 구성한다. t는 관측값의 순위나 표본 개수가 아니라 특성함수를 평가하는 인수다.
평균이 같아도 표현은 다르다
−1과 1이 같은 확률로 나오는 분포와 −2와 2가 같은 확률로 나오는 분포는 모두 평균이 0이다. 하지만 특성함수는 각각 cos t와 cos 2t다. t=π/2에서는 첫 값이 0,두 번째 값이 −1이다. 평균 차이가 없는 경우에도 분포 차이가 특성함수에 나타날 수 있다는 예이며,특정 표본의 ES 검정 통계량이나 유의확률을 계산한 예는 아니다.
평가점 하나로 분포를 확정하지 않기
상수 0인 분포와 상수 2π인 분포는 t=1에서 특성함수가 모두 1이다. t=1/2에서는 각각 1과 −1로 달라진다. 따라서 몇 평가점에서 값이 같다는 사실을 분포 전체가 같다는 증명으로 읽으면 안 된다. 평가점 선택과 검정력은 구분할 요소이며,어떤 검정이 모든 대립분포에서 항상 가장 강하다고 단정하지 않는다.
자료 조건과 유의확률
ES 검정은 연속분포만을 전제하는 방식은 아니며 이산 자료에도 적용할 수 있다. 다만 표본 크기와 퇴화 자료,평가점의 척도를 확인해야 한다. 같은 자료를 단위만 바꾸면 tx가 달라지므로 구현의 사분위 범위 등에 의한 척도 조정을 이해한다. 유의확률은 점근 카이제곱 기준으로 근사할 수 있지만 작은 표본의 정확한 확률과 동일하지 않다. 기각하지 못했다고 두 분포가 완전히 같다는 뜻도 아니다.
관련 문서
특성함수 / 경험적 분포 / 두 표본 크래머폰미제스 검정 / 에너지 검정 / 귀무가설 / 카이제곱분포