계산을 거꾸로 하기
실수에 3을 더하는 함수를 생각하면 출력에서 3을 빼 원래 입력을 찾을 수 있다. 입력과 출력의 역할을 바꾸어도 결과가 하나로 정해지기 때문에 역함수를 만들 수 있다. 함수를 적용하고 역함수를 적용하면 출발한 값으로 돌아온다.
한 출력에 여러 입력
실수 전체에서 제곱 함수는 2와 -2를 모두 4로 보낸다. 출력 4만으로 어느 입력이었는지 하나로 정할 수 없으므로 이 범위에서는 역함수가 없다. 정의역을 0 이상의 실수로 제한하고 공역도 0 이상으로 정하면 제곱근 함수가 역함수가 된다.
정의역과 공역의 역할
모든 입력이 서로 다른 출력으로 가더라도 공역에 도달하지 못하는 값이 남으면 그 값에서 되돌아갈 입력을 정할 수 없다. 따라서 어느 집합에서 어느 집합으로 가는 함수인지가 중요하다. 같은 수식도 정의역과 공역을 바꾸면 역함수의 존재가 달라질 수 있다.
표기를 읽는 방법
f⁻¹(x)는 일반적으로 역함수의 값을 뜻하며 1/f(x)와 같다는 뜻이 아니다. 좌표평면에서 원래 함수의 점 (a, b)는 역함수의 점 (b, a)에 대응한다. 따라서 두 그래프는 같은 축척에서 직선 y=x에 대해 대칭인 관계를 갖는다.