한 점에서 확인할 것
실함수가 한 점에서 연속인지 보려면 그 점의 함수값과 주변에서 접근하는 값을 함께 확인한다. 극한이 존재해도 그 점에 다른 값을 지정하면 연속성이 깨질 수 있다.
점에서의 연속성과 정의역 전체에서의 연속성은 구별된다. 전체에서 연속이라고 할 때는 정의역의 각 점에서 그에 맞는 조건을 만족해야 한다.
정의역의 역할
함수의 연속성은 어디에서 정의되어 있는지와 연결된다. 예를 들어 1/x는 0을 제외한 실수 정의역의 각 점에서 연속이지만, 0까지 포함해 같은 식의 함수값을 정할 수는 없다.
구간의 끝점에서는 정의역 안에서 가능한 방향으로 접근한다. 주변의 양쪽 모든 실수값을 항상 사용할 수 있다고 가정하면 경계점에서의 조건을 잘못 해석할 수 있다.
끊기지 않음과 매끄러움
그래프를 선을 떼지 않고 그린다는 설명은 단순한 실함수의 직관에 도움이 되지만 일반적인 수학적 정의를 대신하지는 못한다. 정의역과 접근 조건을 명시해야 한다.
연속이더라도 뾰족한 지점에서 미분이 불가능할 수 있다. 절댓값 함수는 0에서 연속이지만 좌우 변화율이 달라 그 점의 미분계수를 정할 수 없다.
구간에서의 성질
연속 함수는 구간에서 중간값에 관한 중요한 성질을 갖는다. 닫히고 유계인 구간에서 실숫값 연속 함수는 최댓값과 최솟값을 갖는다는 정리도 적용된다.
이런 결론에는 함수와 정의역의 조건이 필요하다. 구간의 끝점을 빼거나 연속성을 잃으면 같은 결론을 보장할 수 없으므로 정리의 전제를 함께 확인해야 한다.