회전과 이동을 함께 나타내기
실수부 q_r는 단위 회전 쿼터니언이고 이중부 q_d는 평행이동 정보를 함께 담는다. ε는 일반 복소수 단위 i와 다르게 제곱이 0인 이중수 단위다. 스칼라 성분을 먼저 쓰는 관례에서 평행이동 벡터 t를 순허수 쿼터니언 t_q=(0,t)로 놓으면 q_d=(1/2)t_q q_r로 구성할 수 있다. 이때 쿼터니언 곱의 순서도 표현 관례의 일부다.
단위라는 말의 의미
강체변환을 나타내는 단위 조건은 q_r의 길이가 1이고 4차원 내적 q_r·q_d가 0이라는 것이다. q_d 자체의 길이가 1일 필요는 없다. 두 쿼터니언을 이어 붙인 8차원 벡터를 일반적인 유클리드 길이 1로 정규화하는 것과 다른 조건이다. 8성분이 임의의 독립적인 여덟 운동 자유도를 뜻하는 것도 아니다.
평행이동만 있는 예
회전이 없고 t=(2,4,6)이면 q_r=(1,0,0,0),q_d=(0,1,2,3)이다. 두 부분의 내적은 0이고 q_r의 길이는 1이므로 단위 이중 쿼터니언 조건을 만족한다. 하지만 8성분의 유클리드 길이는 √15다. 이를 억지로 1로 줄이면 위의 회전 실수부 조건까지 바뀌므로 같은 정규화라고 볼 수 없다.
부호와 배열 순서
q와 −q는 같은 강체변환을 나타내며 부호를 바꿀 때는 실수부와 이중부를 함께 바꾼다. 한 부분만 바꾸면 일반적으로 같은 변환이 아니다. 저장할 때 실수부 네 성분과 이중부 네 성분의 순서,각 부분의 스칼라가 앞인지 뒤인지 확인한다. 변환을 결합하는 곱은 적용 순서에 의존하며 성분별 덧셈이나 평균으로 대체하지 않는다.