회전 평균

회전이라는 제약을 유지하기

대표적인 방식은 Σw_i||R_i−M||_F²를 최소화하는 회전행렬 M을 찾는 것이다. 프로베니우스 노름은 행렬 성분 차이의 제곱합을 사용한다. 먼저 행렬 성분을 평균하더라도 그 결과는 일반적으로 회전행렬이 아니므로 회전 공간의 제약을 만족하는 대표를 찾아야 한다. 구면 위의 한 방향을 평균하는 문제와 3차원 자세 전체를 평균하는 문제도 다르다.

평균한 행렬이 회전이 아닌 예

z축 주위 +90도와 −90도 회전행렬을 같은 비중으로 평균하면 대각이 0,0,1인 행렬이 된다. 이 행렬은 x,y 방향을 0으로 보내고 행렬식도 0이므로 회전이 아니다. 단순 산술평균을 그대로 자세 변환에 적용하면 길이를 보존하지 못한다. 이 예의 대칭적인 배치에서는 chordal 손실을 최소화하는 대표 회전도 하나로 고정되지 않을 수 있다.

각도와 쿼터니언의 함정

같은 회전도 여러 오일러 각 조합으로 표현될 수 있다. 한 성분이 359도와 1도로 주어졌다고 산술평균 180도를 선택하면 경계를 잘못 읽는 문제가 생긴다. 단위 쿼터니언 q와 −q는 같은 회전을 나타내지만 둘의 산술평균은 0이다. 표현 좌표를 평균한 뒤 정규화하는 절차만으로 항상 올바른 평균을 얻는다고 가정하지 않는다.

거리와 가중치의 선택

행렬 차이를 사용하는 chordal 평균과 회전각의 측지거리를 사용하는 평균은 같은 최적화 문제가 아니다. 회전들이 넓게 퍼지면 차이가 중요해질 수 있다. 모든 가중치에 같은 양의 상수를 곱해도 최소화하는 회전은 변하지 않는다. 결과를 비교할 때는 거리 정의,가중치,회전 적용 관례를 맞추고,대표 회전 하나가 자료의 여러 모드를 숨기지 않는지도 살핀다.