가까운 두 점에서 출발하기
곡선 위 한 점을 고정하고 다른 점을 가까이 옮기면 두 점을 지나는 할선의 방향이 달라진다. 그 방향이 하나의 직선으로 가까워지는 상황을 통해 접선을 이해할 수 있다. 모든 곡선의 모든 점에서 이런 직선이 하나로 정해지는 것은 아니다.
함수의 그래프
y=f(x)가 x=a에서 미분 가능하면 접선은 y=f(a)+f′(a)(x−a)로 표현된다. 미분계수는 접점에서의 순간적인 변화율이면서 접선의 기울기다. 이 식은 유한한 미분계수를 사용하는 형태다.
원을 만나는 접선
원의 한 점에서 접선은 그 점을 지나는 반지름과 수직이다. 평면에서 원에 접하는 직선은 원과 한 점에서 만난다. 원에서의 이런 성질을 모든 종류의 곡선에 똑같이 적용할 수는 없다.
곡선을 가로지를 수도 있다
일반적인 곡선의 접선은 접점 근처에서 곡선을 가로지를 수 있다. 예를 들어 y=x³의 원점에서 접선은 x축이며 곡선은 그 양쪽으로 지나간다. 접선은 곡선 전체와 오직 한 번만 만나는 직선이라는 정의로 일반화할 수 없다.