중심과 퍼짐
평균은 분포의 중심 위치를, 표준편차는 퍼짐의 크기를 정한다. 표준편차를 바꾸면 가로 방향의 폭과 밀도 곡선의 높이가 함께 달라지지만 전체 확률은 1로 유지된다.
대칭적인 종 모양이라는 직관만으로 모든 자료를 정규 분포로 취급할 수는 없다. 비대칭이거나 여러 중심을 갖는 자료, 꼬리가 다른 분포도 존재한다.
곡선의 높이와 확률
정규 분포의 곡선은 확률밀도를 나타낸다. 특정 구간에 속할 확률은 그 구간 아래의 면적이며 곡선의 높이 하나와는 다르다.
연속형 모형에서 특정한 실수값 하나를 정확히 가질 확률은 0이다. 관측값이 소수점 몇 자리로 기록되는 일과 모형에서 정확한 한 점의 확률을 다루는 일은 구별해야 한다.
표준화
변수에서 평균을 빼고 표준편차로 나누면 중심과 척도를 조정할 수 있다. 원래 변수가 정규 분포를 따른다면 이렇게 얻은 변수는 표준 정규 분포를 따른다.
다른 분포의 자료를 같은 방식으로 표준화한다고 해서 모양까지 정규 분포로 바뀌는 것은 아니다. 표준화는 위치와 척도를 바꾸는 연산이다.
근사와 전제
독립이고 동일한 분포를 따르며 유한한 분산을 갖는 변수 등 적절한 조건에서는, 합이나 평균을 알맞게 중심화하고 표준화한 분포가 정규 분포에 가까워진다는 중심극한정리가 성립한다.
이 정리는 개별 자료가 정규 분포를 따른다고 보장하지 않는다. 표본 수만 보고 모든 모형의 가정이 해결되었다고 판단해서도 안 되며, 의존성과 극단값의 영향 등을 함께 살펴야 한다.