원소 하나의 모든 배수
(a)는 a 하나만 들어 있는 집합이 아니라 R 안에서 만들 수 있는 a의 모든 배수다. 정수환의 (5)는 …,−10,−5,0,5,10,…를 포함한다. 두 배수의 차도 배수이며 환의 어떤 원소를 곱해도 다시 배수가 되어 아이디얼 조건을 만족한다.
생성원은 다를 수 있음
정수환에서 (5)=(−5)다. 5의 배수 전체와 −5의 배수 전체가 같은 집합이기 때문이다. 따라서 괄호 안의 원소가 다르다고 항상 다른 아이디얼인 것은 아니다. 아이디얼의 동등성은 생성원 기호가 아니라 만들어지는 원소들의 집합으로 판단한다.
정수환의 모든 아이디얼
정수환의 아이디얼은 모두 주아이디얼이다. 0이 아닌 아이디얼에서 가장 작은 양의 정수 d를 고른 뒤 나눗셈 알고리즘을 적용하면 모든 원소가 d의 배수임을 보일 수 있다. 0만 있는 아이디얼은 (0)이므로 이 경우도 포함된다.
환과 아이디얼의 성질
어떤 아이디얼 하나가 주아이디얼이라는 사실과 환의 모든 아이디얼이 주아이디얼이라는 사실은 다르다. 모든 환에서 모든 아이디얼이 원소 하나로 생성되는 것은 아니다. 또한 비가환환에서는 aR와 Ra가 서로 다를 수 있어 좌우 조건을 따로 다뤄야 한다.