덧셈과 흡수 성질
I가 아이디얼이면 0을 포함하고 두 원소의 차도 포함한다. 또한 I 안의 원소에 환 R의 임의의 원소를 곱해도 I를 벗어나지 않는다. 환이 가환이면 왼쪽과 오른쪽 조건이 같지만 비가환환에서는 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼을 구분한다.
정수에서의 예
4의 배수 전체인 4ℤ는 정수환의 아이디얼이다. 두 4의 배수의 차는 다시 4의 배수이고, 어떤 정수를 곱해도 4의 배수다. 반면 홀수 전체는 0을 포함하지 않고 덧셈에도 닫혀 있지 않으므로 아이디얼이 아니다.
생성원을 주는 방법
가환환에서 a₁,…,aₙ으로 생성된 아이디얼은 r₁a₁+…+rₙaₙ 꼴의 원소들을 모은다. 정수환에서 6과 15로 생성한 아이디얼은 3ℤ다. 모든 이런 합은 3의 배수이고 3=15−2×6이므로 3 자체와 모든 3의 배수를 얻을 수 있다.
부분환과의 차이
아이디얼의 핵심은 내부 원소끼리의 곱뿐 아니라 바깥 환의 임의 원소와의 곱도 받아들인다는 점이다. 1을 갖는 환에서 아이디얼이 1을 포함하면 r=r×1 때문에 환 전체가 된다. 따라서 4ℤ처럼 진아이디얼인 경우 원래 환의 곱셈 항등원 1은 포함하지 않는다.