나올 수 있는 값 모으기
정의역이 {−2, −1, 0, 1, 2}이고 f(x)=x²이면 치역은 {0, 1, 4}다. 다섯 입력이 있다고 해서 다섯 개의 서로 다른 출력이 있는 것은 아니다. 같은 값이 여러 입력에서 나와도 집합에서는 한 원소로 센다.
정의역을 바꾸면
f(x)=x²을 실수 전체에 적용하면 치역은 0 이상인 실수의 집합이다. 정의역을 {1, 2}로 줄이면 치역은 {1, 4}가 된다. 같은 식이라도 입력 범위가 달라지면 실제 출력 범위도 달라질 수 있다.
공역과 혼동하지 않기
f:실수→실수, f(x)=x²에서 공역은 실수 전체지만 치역에는 음수가 없다. 따라서 이 함수는 지정된 공역에 대해 전사가 아니다. 그래프에서 y축 방향으로 어떤 값이 실제 나타나는지 살피는 것은 치역을 이해하는 한 방법이다.
역으로 입력을 찾는 질문
어떤 값 y가 치역에 속한다는 것은 f(x)=y를 만족하는 정의역의 원소 x가 적어도 하나 있다는 뜻이다. 그 x가 반드시 하나뿐인 것은 아니다. 출력에서 입력을 유일하게 되찾을 수 있는지는 단사성이라는 별도 조건과 관련된다.