종이와 다른 추상적 공간
종이 표면은 평면을 떠올리는 데 도움이 되지만 실제 종이는 두께와 가장자리가 있고 휘어질 수 있다. 수학적 평면은 그런 제한을 제외해 이상화한 대상이다. 곡면의 작은 부분이 거의 평평해 보이는 것과 전체가 평면인 것도 다르다.
어떻게 하나로 정할까
삼차원 유클리드 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 정하면 하나의 평면이 결정된다. 두 점만 있거나 세 점이 모두 한 직선 위에 있으면 그 점들을 포함하는 평면은 하나로 정해지지 않는다.
좌표와 방정식
평면 위에 두 좌표축을 정하면 점을 두 수로 표시할 수 있다. 삼차원 공간의 평면은 법선벡터와 한 점을 이용해 표현할 수도 있다. ax+by+cz+d=0에서 a, b, c가 모두 0이 아니면 하나의 평면을 나타낸다.
다른 평면과의 관계
서로 다른 두 평면은 만나지 않고 평행하거나 하나의 직선을 따라 만날 수 있다. 같은 평면인 경우와도 구분해야 한다. 도면이나 화면에 그린 평행사변형은 무한한 평면의 일부를 표시한 것이지 평면 자체에 테두리가 있다는 뜻은 아니다.