하우스도르프 거리

가장 가까운 거리들의 최대값

비어 있지 않은 유한 점 집합 A와 B를 생각하자. A의 각 점 a에 대해 B의 점들 중 가장 가까운 거리를 구한다. 이 값들을 A 전체에서 최대화한 것이 방향 거리 h(A,B)다. 대칭 하우스도르프 거리는 h(A,B)와 h(B,A) 중 큰 값이다. 모든 점 쌍 거리 중 가장 큰 값을 바로 고르는 계산과는 다르다.

방향을 바꾸면 달라지는 예

수직선 위에서 A={0,2}, B={0,2,7}로 두자. A의 각 점은 B 안에 있으므로 h(A,B)=0이다. 반대 방향에서는 B의 점 7이 A의 최근접 점 2에서 5만큼 떨어져 있어 h(B,A)=5다. 따라서 대칭 거리는 5다. 한 집합이 다른 집합에 포함된다고 해서 두 집합 사이의 대칭 거리가 0이 되는 것은 아니다.

한 점의 영향

B에서 7을 제외하면 두 집합이 같아져 대칭 거리가 0이 된다. 단 하나의 먼 점이 결과를 크게 바꿀 수 있는 예다. 관측 오류나 분할 과정의 작은 돌출 영역이 있을 때 평균적인 일치와 최대 어긋남은 다른 평가를 낼 수 있다. 일부 큰 거리를 제외하는 백분위수 변형을 사용한다면 원래의 최대값 정의와 구별해 조건을 밝혀야 한다.

좌표계와 표본 간격

점들 사이의 거리 척도와 좌표 단위를 맞춰야 한다. 같은 좌표를 미터 대신 센티미터로 나타내면 유클리드 거리로 계산한 값도 100배가 된다. 유한 점으로 표본화한 곡선은 표본 간격에 따라 원래 연속 곡선과 다른 결과를 낼 수 있다. 이 거리는 자동으로 이동이나 회전을 맞추지 않으므로 정렬 전후 중 무엇을 비교하는지도 정해야 한다.