아래 숫자를 고정한 합
합에서 이항계수의 아래 숫자 r은 고정하고 위 숫자 k를 r부터 n까지 늘린다. 파스칼의 삼각형을 그리는 방향에 따라 대각선의 겉모양은 달라질 수 있지만 식이 가리키는 항은 같다. 삼각형의 한 행 전체를 더하는 공식과는 다른 합이다.
작은 수로 확인
r=2이고 n=5라면 binom(2,2)+binom(3,2)+binom(4,2)+binom(5,2)=1+3+6+10=20이다. 오른쪽은 binom(6,3)=20으로 같다. 합의 첫 항인 binom(r,r)=1을 빼먹으면 그대로 같은 공식을 사용할 수 없다.
가장 큰 원소로 나누어 세기
1부터 n+1까지에서 r+1개를 선택하는 경우를 생각한다. 가장 큰 원소가 k+1이면 나머지 r개는 1부터 k까지에서 골라야 하므로 binom(k,r)가지다. 가장 큰 원소의 가능한 값을 모두 고려하면 왼쪽 합을 얻고, 전체 선택 수는 오른쪽 이항계수다.
파스칼 관계로 확인
파스칼의 관계에서 binom(k,r)=binom(k+1,r+1)−binom(k,r+1)이다. 이를 k에 대해 더하면 중간 항들이 상쇄되고 binom(n+1,r+1)만 남는다. 이항계수의 합이 망원 합으로 정리되는 예이며, 적용할 때는 인덱스의 시작과 끝을 함께 맞추어야 한다.