두 방식으로 같은 선택 세기
서로 겹치지 않는 m개짜리 집단과 n개짜리 집단에서 모두 r개를 고른다. 합친 m+n개에서 바로 선택하면 binom(m+n,r)가지다. 첫 집단에서 k개를 고르는 경우로 나누면 binom(m,k)binom(n,r−k)가지이며 가능한 k에 대해 더한 값이 같아야 한다.
작은 수로 확인하기
첫 집단이 3개, 둘째 집단이 4개이고 총 2개를 선택한다고 하자. 첫 집단에서 0개, 1개, 2개를 고르는 경우의 수는 각각 6, 12, 3이다. 합계 21은 전체 7개에서 2개를 고르는 binom(7,2)=21과 같다.
다항식의 계수 비교
(1+x)ᵐ(1+x)ⁿ=(1+x)ᵐ⁺ⁿ에서 xʳ의 계수를 비교해도 같은 공식을 얻는다. 왼쪽에서는 첫 다항식의 xᵏ 항과 둘째의 xʳ⁻ᵏ 항을 곱해 더한다. 오른쪽에서는 이항정리에 따라 계수가 binom(m+n,r)이다.
이항계수 제곱의 합
m=n이고 r=n인 경우에는 binom(n,n−k)=binom(n,k)를 이용해 Σₖ₌₀ⁿ binom(n,k)²=binom(2n,n)을 얻는다. 이는 특별한 경우의 하나이며 일반 공식에서는 두 집단 크기가 같을 필요가 없다. 합의 범위를 조정할 때는 아래 수가 음수이거나 위 수보다 큰 항을 어떻게 처리하는지 확인한다.