안쪽 함수부터 계산
f(x)=x+1, g(x)=x²이면 (g∘f)(x)=(x+1)²이다. 반대로 (f∘g)(x)=x²+1이다. x=2에서 각각 9와 5가 되므로 합성 순서는 일반적으로 바꿀 수 없다.
정의역 확인
f(x)=x−2이고 g(t)=√t를 실수 함수로 보면 g(f(x))가 정의되려면 x−2≥0이어야 한다. 따라서 이 합성식의 자연스러운 정의역은 x≥2다. 식을 대입해 만드는 과정과 입력이 허용되는 범위를 정하는 과정이 함께 필요하다.
세 함수를 이어 쓰기
정의역과 공역이 맞는 세 함수의 합성은 (h∘g)∘f=h∘(g∘f)를 만족한다. 두 경우 모두 x를 f에 넣고, 결과를 g에, 다시 h에 넣는다. 괄호의 묶음은 바꿀 수 있지만 함수의 적용 순서는 유지해야 한다.
곱셈과 다른 연산
g(f(x))는 g(x)f(x)와 다르다. 전자는 출력이 다음 함수의 입력이 되고 후자는 두 함수값을 곱한다. 같은 함수 f를 두 번 합성한 f∘f도 f(x)의 제곱과는 일반적으로 같지 않다.