입력이 그대로 출력된다
항등함수에 2를 넣으면 2, −3을 넣으면 −3이 나온다. f(x)=5 같은 상수함수는 어느 입력에도 5를 주므로 항등함수와 다르다. 정의역이 원소 하나뿐인 경우처럼 두 성질이 함께 성립하는 특별한 경우도 있다.
집합에 따른 항등함수
항등함수는 실수에만 정의되는 함수가 아니다. 어떤 집합 A에서도 각 원소 a를 a 자신에게 보내는 항등함수를 정할 수 있다. 항등함수의 정의역과 공역은 같은 집합 A다.
합성에서의 역할
f:A→B일 때 B의 항등함수를 f 뒤에 적용하거나 A의 항등함수를 f 앞에 적용해도 결과는 f다. 즉 idᵦ∘f=f이고 f∘idₐ=f다. 이 관계는 어떤 집합의 항등함수를 사용하는지까지 맞아야 한다.
역함수와의 관계
일대일대응 f에 역함수 f⁻¹이 있으면 f⁻¹∘f는 정의역의 항등함수다. 반대 순서 f∘f⁻¹은 공역의 항등함수가 된다. 두 함수를 차례로 적용하여 원래 입력으로 돌아온다는 뜻이다.