4차 룽게 쿠타 방법

중간 상태를 두 번 예측한다

dy/dt = f(t,y), 시간 간격 h에 대해 k1 = h f(t,y), k2 = h f(t+h/2,y+k1/2), k3 = h f(t+h/2,y+k2/2), k4 = h f(t+h,y+k3)로 둔다. 다음 값은 y+(k1+2k2+2k3+k4)/6이다. 여기서 k들은 기울기 자체가 아니라 h를 곱한 증분이다.

한 단계를 계산하는 예

dy/dt = -y, y(0) = 1, h = 0.5라면 k1은 -0.5다. 중간 계산으로 k2는 -0.375, k3는 -0.40625, k4는 -0.296875가 된다. 이를 합친 t = 0.5의 값은 약 0.60677083이다. 정확한 값 exp(-0.5)는 약 0.60653066이다.

차수가 말하는 범위

충분히 매끄러운 문제에서 한 단계의 오차는 h의 오제곱 수준이며 고정된 시간 구간의 전역 오차는 통상 h의 사제곱 수준이다. 불연속 입력이나 함수 평가 오차가 크면 기대한 양상이 달라질 수 있다. 네 단계를 쓴다는 사실만으로 모든 문제에서 사차 정확도가 보장되지는 않는다.

자동 간격 조절과는 다르다

위 공식은 정해진 h로 한 단계 나아가는 계산이다. 공식 자체가 오차를 측정해 다음 시간 간격을 자동으로 정하지는 않는다. 안정성 때문에 간격을 작게 해야 하는 문제도 있다. 같은 시간의 계산량을 비교할 때는 단계 수와 함수 평가 횟수를 함께 센다.