미지의 다음 값을 식에 넣는다
dy/dt = f(t,y)에서 시간 간격을 h라 하면 갱신식은 y[n+1] = y[n] + h f(t[n+1],y[n+1])이다. 다음 값이 아직 없으므로 이 관계를 만족하는 값을 풀어야 한다. 식의 형태에 따라 대수적으로 정리하거나 수치적 방정식 풀이가 필요하다.
감쇠 방정식의 계산 예
dy/dt = -4y라면 y[n+1] = y[n]-4h y[n+1]이므로 다음 값은 y[n]/(1+4h)다. 초기값 1, h = 0.5에서는 첫 값이 1/3, 두 번째가 1/9다. t = 1에서 정확한 값은 exp(-4), 약 0.01832이므로 근삿값 0.11111과 차이가 있다.
발산하지 않는 것과 정확한 것은 다르다
위 예에서는 모든 양의 h에 대해 배율이 0과 1 사이여서 계산값이 감소한다. 하지만 큰 간격에서는 실제 감소 속도를 정확하게 나타내지 못할 수 있다. 선형 시험 방정식에서의 넓은 안정 영역을 모든 비선형 문제의 무조건적인 정확성으로 해석하면 안 된다.
단계마다 푸는 비용
비선형 기울기에서는 각 단계에 뉴턴 방법 같은 반복 풀이를 사용할 수 있다. 반복이 충분히 수렴했는지와 시간 이산화 오차는 서로 다른 검사다. 전진 오일러 방법과 비교할 때도 단계 수뿐 아니라 단계별 계산량, 필요한 정확도와 안정 조건을 함께 본다.