정확한 해가 없어도 풀 문제는 남는다
x=1과 2x=1을 동시에 만족시키는 수는 없다. 계수 행렬을 두 행이 (1), (2)인 행렬, 우변을 (1,1)로 쓰면 이 불일치가 드러난다. 최소제곱 문제는 두 식의 오차를 함께 고려해 가장 작은 제곱합을 찾는다.
예제의 최솟값을 구하기
잔차 제곱합은 (1-x)²+(1-2x)² = 5x²-6x+2다. 이를 5(x-3/5)²+1/5로 쓰면 최적 해는 x=3/5다. 이 값에서 잔차는 (2/5,-1/5)이며 제곱합은 1/5다. 이 계산은 LSQR이 목표로 하는 해를 보여 주며 내부 반복 단계를 재현한 것은 아니다.
잔차가 0이어야 성공인 것은 아니다
예제에서는 가장 좋은 해에서도 잔차가 남는다. 따라서 잔차가 정확히 0이 될 때까지 반복하라는 기준은 문제와 맞지 않는다. 최소제곱 최적성에서는 Aᵀr도 살펴본다. 예제는 1×(2/5)+2×(-1/5)=0으로 이 조건을 만족한다.
정규방정식과의 관계
정규방정식 AᵀAx=Aᵀb와 연결되지만 LSQR을 단순히 AᵀA를 만든 뒤 푸는 절차와 같다고 보면 안 된다. 반복 횟수와 허용 오차, 전처리 여부가 결과에 영향을 준다. 종료 상태와 잔차를 확인하고, 종료했다는 사실만으로 정확한 해라고 단정하지 않는다.