삼각 구조로 나누기
정사각행렬 A를 L과 U로 나누면 한 번의 복잡한 계산을 두 삼각 구조의 계산으로 바꿀 수 있다. L의 대각 성분을 모두 1로 두는 방식이 흔히 사용된다. L과 U의 조건을 어떻게 정하는지에 따라 분해의 표기와 형태를 확인해야 한다.
곱을 확인하는 예
L의 첫째 행을 (1, 0), 둘째 행을 (3, 1)로 두고 U의 첫째 행을 (2, 1), 둘째 행을 (0, 4)로 두자. LU의 첫째 행은 (2, 1), 둘째 행은 (6, 7)이 된다. 이 예에서는 A = LU가 성립하며 행 교환이 필요하지 않다.
행 교환이 필요한 경우
소거 과정에서 기준으로 삼을 성분이 0이거나 수치적으로 불리하면 행을 바꾸는 피벗 선택을 사용할 수 있다. 이 경우 행 교환을 나타내는 P를 포함한 PA = LU로 관계를 적을 수 있다. 모든 행렬에서 행 교환 없는 분해가 항상 가능하다고 가정해서는 안 된다.
두 단계로 해 구하기
PA = LU를 이용해 Ax = b를 풀려면 Ly = Pb를 먼저 풀고 Ux = y를 다음에 푼다. L에서는 앞에서부터, U에서는 뒤에서부터 대입할 수 있다. 같은 A에 대해 오른쪽 벡터 b만 바뀌는 여러 문제에서는 이미 구한 분해를 다시 활용할 수 있다.