두 미분값으로 정리하기
단일 입력 시스템 ẋ=f(x)+g(x)u에서 a=∇V·f, b=∇V·g로 두면 V̇=a+bu다. V가 제어 리아푸노프 함수라면 원점 밖에서 이 값을 음수로 만들 입력이 존재한다. 특히 b=0인 상태에서는 입력으로 미분값을 바꿀 수 없으므로 반드시 a<0이어야 한다.
기본 공식
b≠0에서 u=−(a+√(a²+b⁴))/b로 두고 b=0에서는 u=0으로 정의한다. 앞의 경우 대입하면 V̇=−√(a²+b⁴)<0을 얻는다. b=0인 원점 밖에서는 제어 리아푸노프 조건에 따라 V̇=a<0이다. 이 식을 쓰려면 먼저 적절한 V가 주어져 있어야 하며, 공식이 그 함수를 자동으로 찾아 주는 것은 아니다.
선형 한 변수 예제
ẋ=x+u, V=x²/2이면 a=x²,b=x다. x≠0에서 공식은 u=−(1+√2)x로 단순해진다. 폐루프 운동은 ẋ=−√2x이고 V̇=−√2x²다. x=0에서 u=0으로 놓으면 이 예제에서는 피드백이 원점까지 연속이다. 같은 시스템을 안정화하는 피드백은 여러 개일 수 있으며 이 식이 입력 크기 최소화 해라는 뜻은 아니다.
연속성과 구동 한계
일반적인 경우 원점에서의 연속성을 위해 제어 리아푸노프 함수의 작은 입력 성질 같은 추가 조건이 중요하다. 기본 공식을 계산한 뒤 구동기 한계에 맞춰 단순 포화하면 감소 증명이 유지되지 않을 수 있다. 위 예제도 |u|≤1인 구동기에서는 큰 |x|에 대해 식을 그대로 실행할 수 없다. 제한된 입력에는 그 제약을 반영한 설계가 필요하다.
관련 문서
제어 리아푸노프 함수 / 제어 아핀 시스템 / 피드백 제어 / 계산 토크 제어 / 제어 장벽 함수 / 미분