반복 절댓값 차분은 수열에서 서로 이웃한 두 항의 차의 절댓값을 구하고, 그 결과에 같은 연산을 거듭 적용하는 과정이다. 정수 수열에 대한 이 연산과 반복 배열은 프로트–길브레스 연산 및 삼각형의 연구에서 다루어진다.
정의
처음 행을 a₁, a₂, …라 할 때 다음 행의 i번째 항은 |aᵢ₊₁ − aᵢ|이다. 각 행을 이전 행보다 한 칸 짧게 적으면 삼각형 배열이 만들어진다. n개의 항으로 시작하는 유한 배열은 n−1번 연산한 뒤 하나의 항만 남는다. 이 정의에는 마지막 항과 첫 항의 차이를 다시 넣는 순환 규칙이 포함되지 않는다.
짝수와 공통 약수
첫 행의 모든 항이 정수 d의 배수이면 이후의 항들도 d의 배수다. 두 항이 du, dv이면 그 차의 절댓값이 d|u−v|이기 때문이다. 이 논증을 행마다 반복하면 모든 행에 성립한다. 특히 짝수로 시작하면 이후 행에는 0을 포함한 음이 아닌 짝수만 나타난다.
범위와 배율
한 행의 최솟값이 m, 최댓값이 M이면 다음 행의 각 항은 0 이상 M−m 이하이다. 또한 처음 행을 양수 c배 하면 이후 모든 행도 c배가 된다. 이는 |cx−cy|=c|x−y|에서 직접 따른다. 이러한 성질은 연산의 정의로부터 얻는 기본적인 관찰이다.
초기 수열에 따른 차이
오름차순 짝수라는 조건만으로 유한 배열의 마지막 값이 하나로 정해지지는 않는다. 예를 들어 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14는 첫 차분이 모두 2이고 그 다음부터 모두 0이다. 반면 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128은 차분할 때마다 마지막 항만 줄어든 같은 형태가 남아 마지막 값이 2가 된다. 등차, 등비 등 초기 수열에 추가 조건이 있으면 그 조건에 맞는 성질을 따로 분석할 수 있다.