최신 값을 오른쪽에 넣는다
각 식에서 자기 미지수만 왼쪽에 남긴다. 먼저 갱신한 성분은 새 값을 쓰고 아직 계산하지 않은 성분은 이전 값을 쓴다. 기본형은 대각 원소로 나누므로 그 값이 0이면 그대로 적용할 수 없다. 행렬 분해에 쓰는 가우스 소거법과는 별도의 반복 계산이다.
한 번의 갱신을 계산한다
4x+y = 9, x+3y = 7에서 x를 먼저 계산하자. (0,0)에서 새 x = 9/4다. 이어 새 y는 이전 x가 아니라 9/4를 넣어 (7-9/4)/3 = 19/12가 된다. 야코비 반복의 첫 y 값 7/3과 다르다.
두 번째 반복과 순서
이어서 계산한 x는 (9-19/12)/4 = 89/48이고 y는 (7-89/48)/3 = 247/144다. 정확한 해는 (20/11,19/11)이다. 처음부터 y를 먼저 갱신했다면 첫 y가 7/3, 첫 x가 5/3이 되어 진행 경로가 달라진다.
수렴 조건과 비교 기준
실수 대칭 양의 정부호 행렬에서는 수렴을 보장할 수 있다. 모든 행에서 엄격한 대각 우세 조건을 만족하는 경우도 충분조건이다. 임의의 행렬에서 수렴하거나 항상 야코비보다 빠르다고 단정하지 않는다. 반복 횟수와 함께 잔차, 계산 순서와 실제 작업량을 확인한다.
관련 문서
야코비 반복법 / 고정점 반복법 / 가우스 소거법 / 양의 정부호 행렬 / 희소행렬 / 행렬 / 벡터 / 부동 소수점