낮은 차원 구조와 오염 분리
L은 자료에 공통으로 나타나는 저랭크 구조이고 S는 값이 0이 아닌 원소 수가 적은 성분이다. 오염값이 작아야 한다는 가정과 오염 위치가 적다는 가정은 다르다. 소수의 원소가 매우 크게 바뀌면 보통의 제곱 오차 기반 주성분 분석이 크게 흔들릴 수 있다.
분해를 보는 예제
D=[[1,1],[1,9]]는 L=[[1,1],[1,1]]과 S=[[0,0],[0,8]]로 나눌 수 있다. L의 랭크는 1이고 S는 한 곳만 0이 아니다. 이 예제는 구조를 보여 줄 뿐 이 분해가 정보 없이 항상 유일하다는 뜻은 아니다. 한 원소만 0이 아닌 행렬은 그 자체로 희소하면서 저랭크일 수 있어 두 역할이 겹칠 수 있다.
주성분 추구 목적함수
대표적인 주성분 추구는 L+S=D 조건 아래 ‖L‖*+λ‖S‖₁를 최소화한다. 앞 항은 특이값의 합이고 뒤 항은 모든 원소 절댓값의 합이다. 두 항이 서로 다른 구조를 선호하게 만든다. 저랭크 성분의 비일관성과 오염의 분포 등에 대한 적절한 조건 아래 분해 보장이 있으며 모든 자료에 무조건 적용되는 것은 아니다.
다른 희소성 문제와 비교
희소 주성분 분석은 주성분의 적재량을 적은 변수에 집중시키는 방향의 문제다. 저랭크 성분과 희소 오염을 분리하는 이 모형과 목표가 다르다. 전체에 작은 잡음이 있거나 오염이 행 또는 열 전체에 몰리면 그 구조에 맞는 변형이 필요할 수 있다. 분해 결과를 곧바로 정상과 이상이라는 실제 의미로 확정하지 않는다.