낮은 랭크가 주는 관계
여러 행이나 열이 적은 수의 공통 요인으로 표현된다면 관측되지 않은 원소도 다른 원소와 관계를 갖는다. 예를 들어 사용자와 항목의 점수 행렬을 소수의 잠재 요인으로 근사할 수 있다. 다만 실제 자료가 정확히 저랭크인지와 관측이 어떤 편향으로 빠졌는지는 별도의 가정이다.
두 행 두 열의 계산
[[1,2],[3,t]]가 정확히 랭크 1이라고 하자. 행렬식이 0이어야 하므로 t−6=0, 즉 t=6이다. 반면 대각 원소 1과 4만 알고 나머지를 모르면 [[1,1],[4,4]]와 [[1,2],[2,4]]가 모두 랭크 1이다. 랭크 가정만으로 아무 관측 배치에서나 빈칸이 정해지지는 않는다.
볼록 완화로 구하기
관측 원소와 일치하면서 랭크가 가장 낮은 행렬을 찾는 대신 특이값의 합인 핵노름을 최소화할 수 있다. 이 목적은 볼록하다. 특정 비일관성 조건을 만족하는 저랭크 행렬과 충분한 무작위 관측 아래 정확한 복원 결과가 있지만, 모든 행렬과 관측 위치에 같은 보장을 적용할 수는 없다.
잡음과 평가 자료
실제 관측에 잡음이 있으면 관측값과의 오차를 허용하거나 정규화와 함께 최적화한다. 빠진 원소를 0으로 관측한 것처럼 처리하면 문제 자체가 달라진다. 성능을 평가할 때는 학습에 쓰지 않은 관측값을 보류하고 오차를 측정하며 관측되지 않는 이유가 결과와 관련되는지도 확인한다.