여섯 성분을 행렬로 바꾸기
ω의 외적 작용을 나타내는 3×3 반대칭행렬을 Ω라고 하자. ξ̂는 왼쪽 위가 Ω,오른쪽 위가 v이고 마지막 행이 모두 0인 4×4 행렬이다. 이 행렬에 지수함수를 적용하면 회전과 이동을 가진 T를 얻으며 T의 마지막 행은 0,0,0,1이다. 지수함수를 적용하기 전과 뒤의 마지막 성분을 혼동하면 다른 행렬을 계산한다.
순수 이동과 순수 회전
ω=0이면 T의 회전은 항등행렬이고 평행이동은 v다. v=0이면 평행이동 없이 exp(Ω)의 회전만 남는다. 그러나 두 성분이 함께 있을 때도 이동이 항상 v라고 추론해서는 안 된다. 일반적으로 t=∫₀¹exp(sΩ)v ds다. 이는 선형 성분이 회전하는 동안 적분되어 최종 위치로 연결됨을 보여 준다.
같은 v라도 다른 최종 이동
ω=(0,0,θ),v=(1,0,0)이면 exp(sΩ)v=(cos(sθ),sin(sθ),0)이다. 따라서 θ가 0이 아닐 때 t=(sinθ/θ,(1−cosθ)/θ,0)다. θ=π/2에서는 t=(2/π,2/π,0)로 v=(1,0,0)과 다르다. θ가 0으로 가는 극한에서는 t가 v로 돌아와 순수 이동 관계와 일치한다.
좌표와 변환 합성
두 지수좌표를 성분별로 더한 결과의 지수가 두 강체변환을 곱한 것과 일반적으로 같지는 않다. 회전과 이동의 적용 순서가 바뀌면 결과도 달라질 수 있기 때문이다. 같은 운동을 공간 좌표계에서 표현하는지 물체 좌표계에서 표현하는지도 구분한다. 다른 구현에서 선형 성분을 먼저 저장할 수 있으므로 성분 순서와 좌표계 관례를 맞춰 사용한다.