경로와 궤적
경로는 매개변수 s에 따른 배치의 곡선이고, 궤적은 실제 시간 t에 따른 배치다. 출발점과 도착점을 잇는 길이 같아도 빨리 출발해 천천히 멈추는 운동과 일정한 속도로 움직이는 운동은 서로 다른 궤적이다. 경로 계획과 시간 계획을 분리하면 기하학적인 길을 유지하면서 동작 시간을 조정할 수 있다.
연쇄법칙으로 구하는 속도
궤적의 속도는 q̇=q′(s)ṡ이고 가속도는 q̈=q′(s)s̈+q″(s)ṡ²다. 시간 함수의 가속도가 0이어도 휘어진 경로에서는 두 번째 항이 남는다. 예를 들어 q(s)=(s,s²), s=t/T이면 가속도는 (0,2/T²)다. 매개변수 속도를 일정하게 정했다는 사실만으로 좌표 가속도까지 0이 되는 것은 아니다.
동작 시간을 늘리는 효과
직선 경로 q(s)=q₀+(q₁−q₀)s를 균일한 시간 매개변수 s=t/T로 따라가면 속도는 (q₁−q₀)/T다. T를 두 배로 하면 속도는 절반이 된다. 같은 모양의 매끄러운 시간 함수 s=h(t/T)를 사용할 때에는 가속도가 1/T²에 비례한다. 다만 시작과 끝에서 정지하려면 h′의 끝점 조건도 맞춰야 하며 균일 시간 함수만으로는 이를 만족하지 않는다.
어느 공간에서 직선인가
관절 좌표를 선형 보간했다고 말단이 직선으로 움직이지는 않는다. 길이 1인 단일 회전팔에서 각도를 0에서 π/2로 보간하면 끝점은 사분원을 그린다. 반대로 말단 위치의 직선을 지정하면 각 위치에서 역기구학을 풀어야 할 수 있다. 시간 매개화는 경로 자체의 충돌이나 도달 불가능한 구간을 제거하지 않으므로 경로의 가능성부터 확인한다.