안쪽의 변화도 반영하기
합성함수에서는 x의 변화가 먼저 g(x)를 바꾸고 그 변화가 다시 f의 출력에 전달된다. 따라서 바깥 함수의 변화율만으로는 부족하고 안쪽 함수의 변화율을 곱해야 한다. 함수값을 곱하는 규칙과는 다르다.
거듭제곱의 예
y=(x²+1)³에서 바깥 함수는 세제곱, 안쪽 함수는 x²+1이다. 도함수는 3(x²+1)²×2x=6x(x²+1)²다. 3(x²+1)²에서 멈추면 안쪽의 도함수 2x가 빠진다.
여러 층의 합성
함수가 세 겹으로 합성되어 있으면 각 층을 거치며 도함수를 곱한다. 다만 각 도함수에 넣을 입력은 해당 층의 안쪽 함수값이다. 기호의 순서만 외우기보다 합성의 구조를 먼저 나누면 대입 위치를 확인하기 쉽다.
치환적분과 연결
치환적분에서 안쪽 함수의 도함수가 함께 나타나야 하는 이유는 연쇄법칙과 연결된다. 예를 들어 (x²+1)⁴/4를 미분하면 2x(x²+1)³이다. 따라서 해당 곱을 적분할 때 x²+1을 새 변수로 두는 선택이 자연스럽다.