교차 스펙트럼 밀도

켤레를 어느 쪽에 취하는가

구간별 푸리에 성분을 X,Y라고 할 때 이 문서에서는 X의 켤레와 Y를 곱한 conj(X)Y에 적절한 정규화와 평균을 적용한다. 순서를 바꾼 P_yx는 P_xy의 켤레다. 크기는 같지만 위상 부호가 바뀌므로, 두 자료의 교차 스펙트럼을 비교할 때는 사용한 켤레 관례를 확인해야 한다.

곱의 평균과 평균의 곱

한 주파수에서 두 구간의 값이 (X₁,Y₁)=(1,i),(X₂,Y₂)=(−1,−i)라고 하자. 각 켤레 곱은 모두 i여서 평균도 i다. 반면 X와 Y를 각각 평균하면 둘 다 0이고 그 곱 역시 0이다. 따라서 구간별 교차 성분을 평균하는 절차와 각 신호의 복소 FFT값을 먼저 평균하는 절차는 다르다.

지연이 위상에 나타나는 예

푸리에 변환에 exp(−iωt) 관례를 쓰고 y(t)=x(t−τ)라면 Y=e^(−iωτ)X다. 따라서 이상적인 관계에서는 P_xy=e^(−iωτ)P_xx가 되어 위상은 −ωτ로 나타난다. 한 주파수에서의 위상은 2π의 정수배만큼 구분되지 않을 수 있으므로, 위상 하나를 읽어 지연을 항상 유일하게 결정할 수 있다고 보지는 않는다.

단위와 추정 조건

두 신호가 전압 단위이고 주파수가 Hz이면 교차 스펙트럼 밀도의 단위는 V²/Hz다. 서로 단위가 다른 신호라면 두 단위의 곱을 Hz로 나눈 형태다. 창,구간 길이,겹침,평균 제거,한쪽 또는 양쪽 스펙트럼 여부를 맞춰 결과를 비교한다. 교차 스펙트럼의 크기가 크다는 사실만으로 방향성이나 인과관계가 입증되지는 않는다.