기본 계산
2+5i의 켤레복소수는 2−5i이고 −3−i의 켤레복소수는 −3+i다. 실수는 허수부가 0이므로 자기 자신의 켤레복소수와 같다. 켤레를 두 번 취하면 처음 수가 된다.
합과 곱
한 복소수와 그 켤레를 더하면 2a가 되어 실수부의 두 배를 얻는다. 둘을 곱하면 i²=−1에 의해 a²+b²이 된다. 이 값은 음이 아니며 복소수가 0일 때에만 0이다.
나눗셈에 이용
1/(2+i)의 분자와 분모에 2−i를 곱하면 (2−i)/5가 된다. 분모와 그 켤레의 곱이 실수라는 성질을 이용한 것이다. 0이 아닌 분모라는 조건은 여전히 필요하다.
방정식의 근
실수 계수 다항식에서 실수가 아닌 복소수가 근이면 그 켤레도 근이다. 예를 들어 x²−4x+13의 근은 2+3i와 2−3i다. 계수가 실수라는 조건 없이 모든 다항식에 이 성질을 적용하지는 않는다.