교환자들의 집합을 넘어서
각 a,b∈G의 교환자 aba⁻¹b⁻¹를 모은 뒤 그것들이 생성하는 부분군을 취한다. 즉 교환자들과 그 역원들의 유한한 곱을 포함한다. 교환자들을 단순히 나열한 집합이 항상 부분군인 것은 아니며, 생성된 부분군의 모든 원소가 교환자 하나로 표현되는 것도 아니다.
가환 몫군 만들기
교환자들을 몫군에서 항등원으로 만들면 두 잉여류의 곱이 순서에 무관해진다. 그래서 G/[G,G]는 가환군이다. 더 일반적으로 정규부분군 N에 대해 G/N이 가환군이면 모든 교환자가 N에 들어가므로 [G,G]⊆N이어야 한다.
대칭군 S₃의 예
S₃의 교환자 부분군은 교대군 A₃다. 전치 두 개의 교환자로 길이 3인 순환을 얻을 수 있고, 부호가 +1인 순열들이 그 부분군을 이룬다. 따라서 S₃/A₃는 위수가 2인 가환군이 된다. 원래 S₃ 자체는 가환군이 아니다.
두 극단
가환군에서는 모든 교환자가 항등원이므로 [G,G]={e}다. 반대로 교환자 부분군이 G 전체가 되는 군도 있다. 예를 들어 n≥5인 교대군 Aₙ은 이 성질을 갖는다. 따라서 교환자 부분군은 항상 원래 군보다 작은 부분군이라고 생각하면 안 된다.