순열의 절반 고르기
전치는 두 원소만 서로 바꾸는 순열이다. 같은 순열을 전치들의 곱으로 나타내는 방법은 여럿이지만 전치 개수의 홀짝은 바뀌지 않는다. 짝순열끼리 합성하면 다시 짝순열이며 역순열도 짝순열이므로 이들이 군을 이룬다.
작은 예 A₃
세 원소의 순열 여섯 개 중 짝순열은 항등순열과 두 개의 길이 3인 순환이다. 따라서 A₃의 위수는 3이고 순환군이다. 한 번만 두 원소를 맞바꾸는 순열은 홀순열이므로 A₃에 들어가지 않는다.
정규부분군이라는 성질
순열의 부호는 짝순열에 +1, 홀순열에 −1을 대응시킨다. 합성은 부호의 곱에 대응하므로 이 대응은 군 준동형이고 Aₙ은 그 핵이다. n≥2이면 두 부호가 모두 나타나므로 Aₙ의 지수는 2가 된다.
군의 크기와 구조
A₄의 위수는 12이며 항등순열과 서로 겹치지 않는 두 전치의 곱 세 개가 클라인 사원군을 이룬다. A₅의 위수는 60이다. n≥5인 교대군은 자명한 부분군과 전체 군 이외의 정규부분군이 없는 단순군이다. 작은 n의 예를 모든 n으로 그대로 일반화해서는 안 된다.