작은 이웃에서 접공간 추정하기
각 점의 이웃을 모으고 중심을 뺀 뒤 낮은 차원의 주요 방향을 구한다. 이 방향은 해당 이웃의 접공간을 근사한다. 곡선 전체가 한 직선 위에 있지 않더라도 작은 이웃에서는 직선으로 잘 근사될 수 있다는 생각을 이용한다.
접선이 바뀌는 곡선 예제
평면 곡선 r(t)=(t,t²)의 접선 방향은 r′(t)=(1,2t)다. t=0에서는 (1,0), t=1에서는 (1,2)로 다르다. 각 이웃에서 계산한 한 좌표의 증가 방향을 같은 전역 축으로 바로 붙이면 일관되지 않을 수 있다. 국소 방향들이 어떻게 연결되는지 맞추는 과정이 필요하다.
전체 좌표의 일관성
겹치는 이웃에 속한 점이 서로 양립하는 좌표를 갖도록 국소 표현을 정렬한다. 이 정렬 오차를 모은 행렬의 부분 고유분해를 이용해 전역 좌표를 구할 수 있다. 원자료의 모든 좌표 차이나 먼 점 사이의 유클리드 거리를 똑같이 유지하는 목표는 아니다.
곡률과 잡음의 균형
이웃이 너무 크면 곡률 때문에 접공간 근사가 부정확해지고 너무 작으면 잡음과 부족한 표본에 민감해질 수 있다. 추정할 내재 차원과 이웃 크기를 함께 정해야 한다. 국소 접공간을 잘 맞췄다는 사실만으로 전체 다양체의 위상이나 경계가 모두 올바르게 복원됐다고 단정하지 않는다.