군의 연산과 변환 맞추기
군 G의 원소 하나마다 집합 X의 변환 하나를 대응시킨다. 두 군 원소를 곱해 작용한 결과는 각각을 정해진 순서로 작용한 결과와 같아야 한다. 따라서 변환을 임의로 나열한 것만으로 군 작용이 되는 것은 아니며 항등원과 합성 조건을 확인해야 한다.
회전의 예
정삼각형을 제자리에 유지하는 0도, 120도, 240도 회전들은 세 꼭짓점의 집합에 작용한다. 120도 회전을 두 번 적용한 결과는 240도 회전과 같다. 0도 회전은 모든 꼭짓점을 그대로 두므로 항등원의 조건도 만족한다.
궤도와 안정자
한 원소 x를 모든 군 원소로 움직여 얻을 수 있는 집합을 x의 궤도라고 한다. 반대로 x를 그대로 두는 군 원소들의 모임은 x의 안정자다. 같은 작용에서도 출발 원소에 따라 궤도와 안정자가 달라질 수 있으며, 물리적인 공전 궤도와는 다른 수학적 용어다.
각 변환이 가역인 이유
군 원소 g에는 역원 g⁻¹이 있다. g를 적용한 뒤 역원을 적용하면 항등원이 작용한 것과 같아 원래 원소로 돌아온다. 따라서 군 작용의 각 변환은 집합 X의 순열이다. 집합 X에 벡터 공간 구조가 있어야 하는 것은 아니며 선형성을 요구하면 별도의 추가 조건이 된다.