대칭으로 같은 대상 묶기
회전하여 겹쳐지는 색칠을 같은 것으로 본다면 여러 배치가 하나의 종류가 된다. 이처럼 허용한 변환으로 서로 이동할 수 있는 원소들의 묶음이 궤도다. 어떤 변환을 허용하는지에 따라 같은 종류로 보는 기준이 정해진다.
고정점이 뜻하는 것
색칠 문제에서 변환의 고정점은 그 변환을 적용해도 전체 색칠이 똑같이 남는 배치다. 도형의 꼭짓점 위치가 움직이지 않는다는 말과 다르다. 꼭짓점들이 서로 자리바꿈을 하더라도 같은 색을 지니고 있으면 전체 색칠은 변하지 않을 수 있다.
삼각형의 두 색칠
정삼각형의 세 꼭짓점을 두 색으로 칠하고 회전만 같다고 보자. 항등회전이 고정하는 배치는 2³=8개다. 120도와 240도 회전은 세 꼭짓점의 색이 모두 같아야 하므로 각각 2개를 고정한다. 따라서 종류 수는 (8+2+2)/3=4다.
그냥 나누면 안 되는 이유
대칭 개수로 전체 배치 수를 단순히 나누면 모든 궤도의 크기가 같다고 가정하게 된다. 앞의 예에서 한 색으로만 칠한 배치는 회전해도 하나뿐이므로 다른 배치와 궤도 크기가 다르다. 또한 회전만 허용하는 문제와 뒤집기까지 허용하는 문제는 사용하는 군이 달라질 수 있으므로 조건을 먼저 정해야 한다.