두 집합의 의미
x의 궤도는 g가 G 전체를 움직일 때 얻는 g·x들의 모임이다. x의 안정자는 g·x=x인 군 원소들의 모임이다. 궤도는 작용을 받는 집합 X 안에 있고 안정자는 군 G 안에 있으므로 서로 다른 종류의 대상을 센다.
같은 도착점의 대칭 묶기
군 원소마다 x를 어디로 보내는지 살피면 서로 다른 원소들이 같은 도착점을 줄 수 있다. 같은 도착점으로 보내는 군 원소들은 안정자의 잉여류로 묶인다. 각 묶음의 크기가 안정자 크기와 같으므로 전체 군 크기는 도착점의 수와 안정자 크기의 곱이 된다.
정삼각형의 꼭짓점
정삼각형의 회전과 반사를 모두 포함하는 대칭군에는 원소가 6개다. 꼭짓점 하나의 궤도는 세 꼭짓점 전체이므로 크기가 3이다. 그 꼭짓점을 고정하는 것은 항등변환과 그 꼭짓점을 지나는 축의 반사로 두 개다. 따라서 6=3×2를 확인할 수 있다.
적용 조건과 결과
유한군에서는 궤도의 크기와 안정자의 크기가 각각 군의 크기를 나눈다. 안정자가 작을수록 같은 군 안에서 가능한 도착점은 많아진다. 다만 모든 원소가 같은 크기의 궤도를 가져야 하는 것은 아니다. 무한군의 경우에도 잉여류와 궤도의 대응은 있지만 유한한 개수의 나눗셈처럼 그대로 해석해서는 안 된다.