좌표의 곱에서 시작하기
실수 좌표 벡터에서는 같은 위치의 성분을 곱한 뒤 더하는 연산을 내적으로 사용할 수 있다. 예를 들어 (1, 2)와 (3, 4)의 표준 내적은 11이다. 다만 내적 공간의 개념은 이 표준 좌표 계산보다 넓다.
길이를 만드는 조건
벡터를 자기 자신과 내적한 값은 음이 아니며, 영벡터일 때에만 0이 되어야 한다. 이 값의 제곱근으로 길이를 정의한다. 내적은 덧셈과 스칼라 곱에 대해서도 정해진 선형성 및 대칭 조건을 만족해야 한다. 복소수에서는 켤레가 포함된 대칭 조건을 사용한다.
직교와 분해
두 벡터의 내적이 0이면 서로 직교한다고 한다. 실수 평면에서는 수직이라는 기하학적 의미와 연결된다. 직교하는 방향들을 이용하면 벡터를 서로 구분되는 성분으로 나누고 한 부분공간에 사영하는 문제를 다룰 수 있다.
화살표 밖의 벡터
조건을 갖춘 함수들의 공간에도 적분을 이용한 내적을 정의할 수 있다. 그러면 함수 사이의 직교성과 크기를 논할 수 있다. 단순한 곱셈식이나 적분식이라고 모두 내적이 되는 것은 아니며, 대상 공간에서 필요한 성질이 성립하는지 확인해야 한다.