많은 식을 한 구조로 묶기
여러 종류의 원료를 섞어 정해진 양의 성분을 만들려면 원료별 투입량을 변수로 놓을 수 있다. 각 성분의 양이 변수의 일차식으로 표현된다면 여러 식을 행렬 방정식 Ax = b로 정리할 수 있다. 이는 계산 순서를 체계화하는 출발점이 된다.
벡터와 기저
벡터는 화살표로 나타내는 공간의 이동뿐 아니라 정해진 규칙에 따라 더하고 수를 곱할 수 있는 대상을 포괄한다. 함수나 수열의 모임도 적절한 연산 아래 벡터 공간이 될 수 있다.
기저는 공간의 모든 벡터를 중복 없이 선형 결합으로 표현하는 기준이다. 기저를 바꾸면 같은 벡터를 나타내는 좌표도 달라질 수 있다. 대상 자체와 선택한 좌표 표현을 구분해야 한다.
선형 변환과 행렬
선형 변환은 벡터의 덧셈과 스칼라배를 보존한다. 유한 차원 공간에서 기저를 정하면 이를 행렬로 표현할 수 있다. 변환의 합성은 행렬 곱과 연결된다.
모든 기하학적 변화가 그대로 선형 변환인 것은 아니다. 예를 들어 원점을 다른 곳으로 옮기는 평행이동은 보통의 벡터 공간에서 선형성의 조건을 만족하지 않는다.
해가 존재하는지 묻기
연립 선형 방정식은 해가 없거나 하나뿐이거나 여러 개일 수 있다. 행렬의 계수와 영공간, 열공간 등은 이런 구조를 설명한다. 관측 오차 때문에 정확히 맞는 해가 없는 자료에는 최소제곱법 같은 근사 문제를 설정하기도 한다.