여러 모수의 대칭 함수
α₀=Σα_i라고 두면 B(α)=∏Γ(α_i)/Γ(α₀)다. 모수의 순서를 바꾸어도 곱과 합이 같으므로 값은 변하지 않는다. K=2이면 B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)라는 보통 베타 함수다. 모수가 여러 개라는 점과 다변량 감마 함수의 차원 아래첨자는 다른 구성이다. 행렬 인수의 베타 함수와도 어떤 정의를 쓰는지 구분해야 한다.
삼각형 적분의 예
K=3이면 x₃=1−x₁−x₂로 두고 x₁≥0,x₂≥0,x₁+x₂≤1에서 곱 x₁^(α₁−1)x₂^(α₂−1)x₃^(α₃−1)을 dx₁dx₂로 적분한 값이 B(α)다. α=(1,1,1)이면 피적분함수가 1이고 평면 좌표 삼각형의 넓이는 1/2이다. 감마 비율 Γ(1)³/Γ(3)=1/2와 일치한다. 이때 적분 측도는 명시한 두 좌표의 측도다.
정규화 계수는 역수
디리클레 밀도에는 1/B(α)가 곱해진다. α=(1,1,1)에서는 상수가 2라서 넓이 1/2에 걸친 전체 적분이 1이다. α=(2,1,1)에서는 B=1/6이고 밀도는 6x₁이다. 실제로 ∫₀¹6x₁(1−x₁)dx₁=1이다. 정규화 상수라는 말만 보고 B 자체를 밀도 앞에 곱하면 전체 적분이 맞지 않는다.
모수 하나를 증가시키기
e_j를 j번째 성분만 1인 벡터라고 하면 B(α+e_j)/B(α)=α_j/α₀다. 감마 함수의 Γ(x+1)=xΓ(x)를 분자와 분모에 적용해 얻는다. α=(2,1,1)에서 첫 모수를 하나 늘리는 비율은 2/4=1/2다. 따라서 B(3,1,1)=1/12다. 비율을 사용하면 두 큰 감마 곱을 각각 계산하지 않고 관계를 점검할 수 있다.