양 끝점의 적분 조건
양의 실수 a,b에서 베타 적분은 수렴한다. t=0 부근의 거동은 t^(a−1), t=1 부근은 (1−t)^(b−1)의 영향을 받는다. 원래 적분의 수렴 조건과 감마 함수 비를 통해 더 넓은 영역으로 확장한 함수의 정의를 구분해야 한다. 적분식에 아무 실수 모수나 넣을 수 있다고 생각하면 끝점의 발산을 놓칠 수 있다.
정수 모수의 계산
a=3,b=4에서는 적분 안의 식이 t²(1−t)³=t²−3t³+3t⁴−t⁵다. 항별 적분값을 더하면 1/3−3/4+3/5−1/6=1/60이다. 감마 관계로도 Γ(3)Γ(4)/Γ(7)=2!3!/6!=1/60을 얻는다. 서로 다른 표현으로 같은 값을 확인하는 예다.
대칭과 점화 관계
변수 치환 t를 1−t로 바꾸면 B(a,b)=B(b,a)라는 대칭을 얻는다. 감마 함수의 점화식을 쓰면 B(a+1,b)=aB(a,b)/(a+b)다. 앞의 값에서 B(4,4)는 (3/7)(1/60)=1/140이 된다. 첫 인자를 하나 올리는 연산은 단순히 적분값에 a를 곱하는 것과 다르며 분모도 함께 들어간다.
정규화 상수로 쓰기
a,b가 양수이면 t^(a−1)(1−t)^(b−1)를 B(a,b)로 나눈 식은 0부터 1 사이의 확률밀도가 된다. a=3,b=4에서는 60t²(1−t)³다. 함수 B 자체는 두 모수에서 하나의 수를 반환하고, 베타 분포의 밀도는 고정한 모수 아래에서 t에 따라 변한다. 이름이 비슷해도 정규화 함수와 확률분포는 구분해야 한다.