다이로그 함수

로그 적분으로 정의한다

실수 0≤x<1에서 Li₂(x)=−∫₀ˣln(1−t)/t dt로 쓸 수 있다. 적분 안의 식은 t=0에서 겉보기에 0/0이지만 극한으로 연속적으로 채울 수 있다. x에 대해 미분하면 −ln(1−x)/x다. 일반적인 로그함수를 두 번 적용한 ln(lnx)와는 다른 함수다.

급수로 계산하는 예

−ln(1−t)=Σ_{n≥1}t^n/n을 적분 정의에 넣으면 |x|<1에서 Li₂(x)=Σ_{n≥1}x^n/n²를 얻는다. x=1/4의 처음 세 항은 1/4+1/64+1/576로 약 0.267361이다. 이후의 항도 양수이므로 이 유한 합은 정확한 값보다 작다. 수렴하는 급수라도 몇 항만 계산한 값의 오차를 따로 검토해야 한다.

스펜스 함수의 입력 차이

어떤 계산 함수는 S(z)=∫₁ᶻln(t)/(1−t)dt를 스펜스 함수로 정의한다. 이 규약에서는 S(z)=Li₂(1−z)다. 따라서 Li₂(1/4)를 구하려면 S의 입력은 3/4이고, Li₂(0)은 S(1)과 대응한다. 두 이름을 동의어로 설명하더라도 구현이 같은 입력을 받는다고 가정하면 다른 값을 얻는다.

복소수와 가지

실수 기본 구간을 벗어나 복소수까지 확장하면 로그의 가지와 적분 경로를 고려해야 한다. 함수 관계식도 선택한 가지의 조건 아래에서 해석한다. 특히 실수 입력에서의 반환 규약과 복소수로 접근한 경계값은 다를 수 있다. 기호와 함수 이름뿐 아니라 정의식, 인자 변환과 입력 영역을 함께 맞춘 뒤 수치 결과를 비교해야 한다.