원점의 특이성을 나눈다
sin t/t는 t=0에서 식만 보면 0/0이지만 극한이 1이므로 연속적으로 채울 수 있다. 사인 적분은 원점에서 Si(0)=0이다. 코사인 적분의 정의에서는 cos t/t를 그대로 0부터 적분하지 않고 (cos t−1)/t와 로그 항으로 나눈다. γ는 오일러 상수이며 적분 상수를 임의로 생략하면 다른 함수가 된다.
작은 입력에서 전개
사인 급수를 항별 적분하면 Si(x)=x−x³/18+x⁵/600−⋯다. 양의 작은 x에서 코사인 적분은 Ci(x)=γ+lnx−x²/4+x⁴/96−⋯로 나타난다. 따라서 Si는 0으로 가지만 Ci는 로그 항 때문에 음의 무한대로 간다. 같은 적분 함수 쌍이라는 이유로 원점에서 같은 유한값을 가진다고 가정할 수 없다.
도함수로 비교하기
x>0에서 Si′(x)=sin x/x다. Ci의 정의를 미분하면 1/x+(cos x−1)/x=cos x/x가 된다. 이름에 사인이나 코사인이 들어가더라도 도함수는 각각 cos x와 −sin x가 아니다. 예를 들어 x=π에서는 Si의 도함수가 0인 반면 Ci의 도함수는 −1/π다. 함수값과 순간 변화율도 구분해야 한다.
정의와 가지를 확인한다
일부 사인 적분 표기는 무한대 극한에 맞추어 상수를 뺀 다른 규약을 사용할 수 있다. 코사인 적분을 음의 실수나 복소수까지 확장하면 로그의 가지와 경계값에 따라 허수부가 달라질 수 있다. 실수 입력에서 실수부만 반환하는 계산과 복소 입력의 주가지 계산을 같은 것으로 취급하지 않는다. 사용하는 정의와 적분 경로를 먼저 확인하고 수치 결과를 비교해야 한다.